Funciones y variables para linearalgebra (Manual de Maxima 5.44.0)

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### 62.2 Funciones y variables para linearalgebra

Función: addmatrices (f, M_1, …, M_n)

  Utiliza la función f como una función aditiva, devolviendo la suma de las matrices M_1, …, M_n. La función f debe ser tal que acepte un número arbitrario de argumentos; en otras palabras, será una función n-aria de Maxima.

  Ejemplos:

      (%i1) m1 : matrix([1,2],[3,4])$
      (%i2) m2 : matrix([7,8],[9,10])$
      (%i3) addmatrices('max,m1,m2);
      (%o3) matrix([7,8],[9,10])
      (%i4) addmatrices('max,m1,m2,5*m1);
      (%o4) matrix([7,10],[15,20])

Función: blockmatrixp (M)

  Devuelve el valor `true` si y solo si M es una matriz cuyos elementos son a su vez matrices.

Función: columnop (M, i, j, theta)

  Si M es una matriz, devuelve la matriz que resulta de hacer la operación columna `C_i <- C_i - theta * C_j`. Si M carece de cualquiera de las filas i o j, devuelve un mensaje de error.

Función: columnswap (M, i, j)

  Si M es una matriz, intercambia las columnas i y j. Si M carece de cualquiera de las filas i o j, devuelve un mensaje de error.

Función: columnspace (M)

  Si M es una matriz, devuelve `span (v_1, ..., v_n)`, donde el conjunto `{v_1, ..., v_n}` es la base del espacio generado por las columnas de M.

Función: copy (e)

  Devuelve una copia de la expresión e de Maxima. Aunque e puede ser cualquier expresión de Maxima, la función `copy` es especialmente útil cuando e es una lista o una matriz. Considérese el siguiente ejemplo:

      (%i1) m : [1,[2,3]]$
      (%i2) mm : m$
      (%i3) mm[2][1] : x$
      (%i4) m;
      (%o4)                      [1,[x,3]]
      (%i5) mm;
      (%o5)                      [1,[x,3]]

  Veamos el mismo ejemplo siendo ahora mm una copia de m

      (%i6) m : [1,[2,3]]$
      (%i7) mm : copy(m)$
      (%i8) mm[2][1] : x$
      (%i9) m;
      (%o9)                     [1,[2,3]]
      (%i10) mm;
      (%o10)                    [1,[x,3]]

  En esta ocasión, la asignación a mm no cambia el valor de m.

Función: cholesky (M)
Función: cholesky (M, field)

  Devuelve la factorización de Cholesky de la matriz autoadjunta (o hermítica) M. El valor por defecto del segundo argumento es `generalring`. Para una descripción de los posibles valores para field, véase `lu_factor`.

Función: ctranspose (M)

  Devuelve la transpuesta compleja conjugada de la matriz M. La función `ctranspose` utiliza `matrix_element_transpose` para transponer cada elemento de la matriz.

Función: diag_matrix (d_1, d_2, …, d_n)

  Devuelve una matriz diagonal con los elementos de la diagonal iguales a d_1, d_2, …, d_n; cuando éstos son matrices, los elementos nulos de la matriz devuelta son matrices nulas de tamaño apropiado. Por ejemplo:

      (%i1) diag_matrix(diag_matrix(1,2),diag_matrix(3,4));

                                  [ [ 1  0 ]  [ 0  0 ] ]
                                  [ [      ]  [      ] ]
                                  [ [ 0  2 ]  [ 0  0 ] ]
      (%o1)                       [                    ]
                                  [ [ 0  0 ]  [ 3  0 ] ]
                                  [ [      ]  [      ] ]
                                  [ [ 0  0 ]  [ 0  4 ] ]
      (%i2) diag_matrix(p,q);

                                         [ p  0 ]
      (%o2)                              [      ]
                                         [ 0  q ]

Función: dotproduct (u, v)

  Devuelve el producto escalar de los vectores u y v. Equivale a `conjugate (transpose (u)) . v`. Los argumentos u y v deben ser vectores columna.

Función: eigens_by_jacobi (A)
Función: eigens_by_jacobi (A, field_type)

  Calcula los valores y vectores propios de A por el método de las rotaciones de Jacobi. A debe ser una matriz simétrica (aunque no necesariamente definida o semidefinida positiva). El argumento field_type indica el tipo numérico sobre el que se realizan los cálculos, que puede ser tanto `floatfield` como `bigfloatfield`. En caso de que no se especifique field_type, su valor por defecto será `floatfield`.

  Los elementos de A deben ser números o expresiones reducibles a números mediante la ejecución de `float` o `bfloat`, según sea el valor de field_type.

  Ejemplos:

      (%i1) S : matrix ([1/sqrt(2), 1/sqrt(2)], [- 1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]);
                           [     1         1    ]
                           [  -------   ------- ]
                           [  sqrt(2)   sqrt(2) ]
      (%o1)                [                    ]
                           [      1        1    ]
                           [ - -------  ------- ]
                           [   sqrt(2)  sqrt(2) ]
      (%i2) L : matrix ([sqrt(3), 0], [0, sqrt(5)]);
                            [ sqrt(3)     0    ]
      (%o2)                 [                  ]
                            [    0     sqrt(5) ]
      (%i3) M : S . L . transpose (S);
                  [ sqrt(5)   sqrt(3)  sqrt(5)   sqrt(3) ]
                  [ ------- + -------  ------- - ------- ]
                  [    2         2        2         2    ]
      (%o3)       [                                      ]
                  [ sqrt(5)   sqrt(3)  sqrt(5)   sqrt(3) ]
                  [ ------- - -------  ------- + ------- ]
                  [    2         2        2         2    ]
      (%i4) eigens_by_jacobi (M);
      The largest percent change was 0.1454972243679
      The largest percent change was 0.0
      number of sweeps: 2
      number of rotations: 1
      (%o4) [[1.732050807568877, 2.23606797749979],
                              [  0.70710678118655   0.70710678118655 ]
                              [                                      ]]
                              [ - 0.70710678118655  0.70710678118655 ]
      (%i5) float ([[sqrt(3), sqrt(5)], S]);
      (%o5) [[1.732050807568877, 2.23606797749979],
                              [  0.70710678118655   0.70710678118655 ]
                              [                                      ]]
                              [ - 0.70710678118655  0.70710678118655 ]
      (%i6) eigens_by_jacobi (M, bigfloatfield);
      The largest percent change was 1.454972243679028b-1
      The largest percent change was 0.0b0
      number of sweeps: 2
      number of rotations: 1
      (%o6) [[1.732050807568877b0, 2.23606797749979b0],
                      [  7.071067811865475b-1   7.071067811865475b-1 ]
                      [                                              ]]
                      [ - 7.071067811865475b-1  7.071067811865475b-1 ]

Función: get_lu_factors (x)

  Cuando `x = lu_factor (A)`, entonces `get_lu_factors` devuelve una lista de la forma `[P, L, U]`, donde P es una matriz permutación, L es triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior, verificándose que `A = P L U`.

Función: hankel (col)
Función: hankel (col, row)

  Devuelve la matriz de Hankel H. La primera columna de H coincide con col, excepto en el primer elemento, la última fila de H es row. El valor por defecto para row es el vector nulo con igual número de elementos que col.

Función: hessian (f, x)

  Devuelve la matriz hessiana de f con respecto de la lista de variables x. El elemento `(i, j)`-ésimo de la matriz hessiana es `diff(f, x[i], 1, x[j], 1)`.

  Ejemplos:

      (%i1) hessian (x * sin (y), [x, y]);
                           [   0       cos(y)   ]
      (%o1)                [                    ]
                           [ cos(y)  - x sin(y) ]
      (%i2) depends (F, [a, b]);
      (%o2)                       [F(a, b)]
      (%i3) hessian (F, [a, b]);
                              [   2      2   ]
                              [  d F    d F  ]
                              [  ---   ----- ]
                              [    2   da db ]
                              [  da          ]
      (%o3)                   [              ]
                              [   2      2   ]
                              [  d F    d F  ]
                              [ -----   ---  ]
                              [ da db     2  ]
                              [         db   ]

Función: hilbert_matrix (n)

  Devuelve la matriz de Hilbert n por n. Si n no es un entero positivo, emite un mensaje de error.

Función: identfor (M)
Función: identfor (M, fld)

  Devuelve una matriz identidad con la misma forma que la matriz M. Los elementos de la diagonal de la matriz identidad son la identidad multiplicativa del campo fld; el valor por defecto para fld es generalring.

  El primer argumento M debe ser una matriz cuadrada o no ser matriz en absoluto. Si M es una matriz, sus elementos pueden ser matrices cuadradas. La matriz puede tener bloques a cualquier nivel finito de profundidad.

  Véase también `zerofor`

Función: invert_by_lu (M, (rng generalring))

  Invierte la matriz M mediante la factorización LU, la cual se hace utilizando el anillo rng.

Función: jacobian (f, x)

  Devuelve la matriz jacobiana de la lista de funciones f respecto de la lista de variables x. El elemento `(i, j)`-ésimo de la matriz jacobiana es `diff(f[i], x[j])`.

  Ejemplos:

      (%i1) jacobian ([sin (u - v), sin (u * v)], [u, v]);
                        [ cos(v - u)  - cos(v - u) ]
      (%o1)             [                          ]
                        [ v cos(u v)   u cos(u v)  ]
      (%i2) depends ([F, G], [y, z]);
      (%o2)                  [F(y, z), G(y, z)]
      (%i3) jacobian ([F, G], [y, z]);
                                 [ dF  dF ]
                                 [ --  -- ]
                                 [ dy  dz ]
      (%o3)                      [        ]
                                 [ dG  dG ]
                                 [ --  -- ]
                                 [ dy  dz ]

Función: kronecker_product (A, B)

  Devuelve el producto de Kroneckerde las matrices A y B.

Función: listp (e, p)
Función: listp (e)

  Dado el argumento opcional p, devuelve `true` si e es una lista de Maxima y p toma el valor `true` al aplicarlo a cada elemento de la lista. Si a `listp` no se le suministra el argumento opcional, devuelve `true` si e es una lista de Maxima. En cualquier otro caso, el resultado es `false`.

Función: locate_matrix_entry (M, r_1, c_1, r_2, c_2, f, rel)

  El primer argumento debe ser una matriz, mientras que los argumentos desde r_1 hasta c_2 determinan la submatriz de M tomando las filas desde r_1 hasta r_2 y las columnas desde c_1 hasta c_2.

  La función `locate_matrix_entry` busca en la submatriz de M un elemento que satisfaga cierta propiedad. hay tres posibilidades:

  (1) `rel = 'bool` y f es un predicado:

  Rastrea la submatriz de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, devolviendo el índice del primer elemento que satisface el predicado f; si ningún elemento lo satisface, el resultado es `false`.

  (2) `rel = 'max` y f una función real:

  Rastrea la submatriz buscando el elemento que maximice f, devolviendo el índice correspondiente.

  (3) `rel = 'min` y f una función real:

  Rastrea la submatriz buscando el elemento que minimice f, devolviendo el índice correspondiente.

Función: lu_backsub (M, b)

  Si `M = lu_factor (A, field)`, entonces `lu_backsub (M, b)` resuelve el sistema de ecuaciones lineales `A x = b`.

Función: lu_factor (M, field)

  Devuelve una lista de la forma `[LU, perm, fld]`, o `[LU, perm, fld, lower-cnd upper-cnd]`, donde

  - La matriz LU contiene la factorización de M de forma empaquetada, lo que significa tres cosas. En primer lugar, que las filas de LU están permutadas de acuerdo con la lista perm; por ejemplo, si perm es la lista `[3,2,1]`, la primera fila de la factorización LU es la tercera fila de la matriz LU. En segundo lugar, el factor triangular inferior de M es la parte triangular inferior de LU con los elementos de la diagonal sustituidos por unos. Por último, el factor triangular superior de M es la parte triangular superior de LU.
  - Si el campo es `floatfield` o `complexfield`, los números lower-cnd y upper-cnd son las cotas inferior y superior del número de condición de la norma infinita de M. El número de condición no se puede estimar para todos los campos, en cuyo caso `lu_factor` devuelve una lista de dos elementos. Tanto la cota inferior como la superior pueden diferir de sus valores verdaderos. Véase también `mat_cond`.

  El argumento M debe ser una matriz cuadrada.

  El argumento opcional fld debe ser un símbolo que determine un anillo o un campo. Los anillos y campos predefinidos son:

  1. `generalring` – el anillo de las expresiones de Maxima
  2. `floatfield` – el campo de los números decimales en coma flotante de doble precisión
  3. `complexfield` – el campo de los números complejos decimales en coma flotante de doble precisión
  4. `crering` – el anillo de las expresiones canónicas racionales (Canonical Rational Expression o CRE) de Maxima
  5. `rationalfield` – el campo de los números racionales
  6. `runningerror` – controla los errores de redondeo de las operaciones en coma flotante
  7. `noncommutingring` – el anillo de las expresiones de Maxima en las que el producto es el operador no conmutativo "."

  Si el campo es `floatfield`, `complexfield` o `runningerror`, el algoritmo utiliza pivoteo parcial; para los demás campos, las filas se cambian cuando se necesita evitar pivotes nulos.

  La suma aritmética en coma flotante no es asociativa, por lo que el significado de ’campo’ no coincide exactamente con su definición matemática.

  Un elemento del campo `runningerror` consiste en una lista de Maxima de la forma `[x,n]`, donde x es un número decimal en coma flotante y `n` un enetro. La diferencia relativa entre el valor real de `x` y `x` está aproximadamente acotado por el valor epsilon de la máquina multiplicado por `n`.

  No es posible la definición de un nuevo campo por parte del usuario, a menos que éste tenga conocimientos de Common Lisp. Para hacerlo, el usuario debe definir funciones para las operaciones aritméticas y para convertir de la representación del campo a Maxima y al revés. Además, en los campos ordenados, donde se hace uso del pivoteo parcial, el usuario debe definir funciones para el módulo y para comparar números del campo. Después de lo anterior, tan solo queda definir una estructura Common Lisp `mring`. El fichero `mring` tiene muchos ejemplos.

  Para calcular la factorización, la primera tarea consiste en convertir cada elemento de la matriz a un elemento del campo especificado. Si la conversión no es posible, la factorización se detiene con un mensaje de error. Los elementos del campo no necesitan ser expresiones de Maxima; por ejemplo, los elementos de `complexfield` son números complejos de Common Lisp. Tras la factorización, los elementos de la matriz deben convertirse nuevamente a expresiones de Maxima.

  Véase también `get_lu_factors`.

  Ejemplos:

      (%i1) w[i,j] := random (1.0) + %i * random (1.0);
      (%o1)          w     := random(1.) + %i random(1.)
                      i, j
      (%i2) showtime : true$
      Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed)
      (%i3) M : genmatrix (w, 100, 100)$
      Evaluation took 7.40 seconds (8.23 elapsed)
      (%i4) lu_factor (M, complexfield)$
      Evaluation took 28.71 seconds (35.00 elapsed)
      (%i5) lu_factor (M, generalring)$
      Evaluation took 109.24 seconds (152.10 elapsed)
      (%i6) showtime : false$

      (%i7) M : matrix ([1 - z, 3], [3, 8 - z]);
                              [ 1 - z    3   ]
      (%o7)                   [              ]
                              [   3    8 - z ]
      (%i8) lu_factor (M, generalring);
                [ 1 - z         3        ]
                [                        ]
      (%o8)    [[   3            9       ], [1, 2], generalring]
                [ -----  - z - ----- + 8 ]
                [ 1 - z        1 - z     ]
      (%i9) get_lu_factors (%);
                        [   1    0 ]  [ 1 - z         3        ]
              [ 1  0 ]  [          ]  [                        ]
      (%o9)  [[      ], [   3      ], [                9       ]]
              [ 0  1 ]  [ -----  1 ]  [   0    - z - ----- + 8 ]
                        [ 1 - z    ]  [              1 - z     ]
      (%i10) %[1] . %[2] . %[3];
                              [ 1 - z    3   ]
      (%o10)                  [              ]
                              [   3    8 - z ]

Función: mat_cond (M, 1)
Función: mat_cond (M, inf)

  Devuelve el número de condición de la p-norma de la matriz M. Los valores admisibles para p son 1 y inf. Esta función utiliza la factorización LU para invertir la matriz M, por lo que el tiempo de ejecución de `mat_cond` es proporcional al cubo del tamaño de la matriz; `lu_factor` determina las cotas inferior y superior para el número de condición de la norma infinita en un tiempo proporcional al cuadrado del tamaño de la matriz.

Función: mat_norm (M, 1)
Función: mat_norm (M, inf)
Función: mat_norm (M, frobenius)

  Devuelve la p-norma de la matriz M. Los valores admisibles para p son 1, `inf` y `frobenius` (la norma matricial de Frobenius). La matriz M no debe contener bloques.

Función: matrixp (e, p)
Función: matrixp (e)

  Dado el argumento opcional p, devuelve `true` si e es una matriz y p toma el valor `true` al aplicarlo a cada elemento de la matriz. Si a `matrixp` no se le suministra el argumento opcional, devuelve `true` si e es una matriz. En cualquier otro caso, el resultado es `false`.

  Véase también `blockmatrixp`

Función: matrix_size (M)

  Devuelve una lista con el número de filas y columnas de la matriz M.

Función: mat_fullunblocker (M)

  Si M es una matriz de bloques, transforma la matriz llevando todos los elementos de los bloques al primer nivel. Si M es una matriz, devuelve M; en cualquier otro caso, envía un mensaje de error.

Función: mat_trace (M)

  Calcula la traza de la matriz M. Si M no es una matriz, devuelve una forma nominal. Si M es una matriz de bloques, `mat_trace(M)` calcula el mismo valor que `mat_trace(mat_unblocker(m))`.

Función: mat_unblocker (M)

  Si M es una matriz de bloques, deshace los bloques de un nivel. Si M es una matriz, `mat_unblocker (M)` devuelve M; en cualquier otro caso, envía un mensaje de error.

  Si todos los elementos de M son matrices, `mat_unblocker (M)` devuelve una matriz sin bloques, pero si los elementos de M son a su vez matrices de bloques, `mat_unblocker (M)` devuelve una matriz con el nivel de bloques disminuido en uno.

  En caso de trabajar con matrices de bloques, quizás sea conveniente darle a `matrix_element_mult` el valor `"."` y a `matrix_element_transpose` el valor `'transpose`. Véase también `mat_fullunblocker`.

  Ejemplo:

      (%i1) A : matrix ([1, 2], [3, 4]);
                                  [ 1  2 ]
      (%o1)                       [      ]
                                  [ 3  4 ]
      (%i2) B : matrix ([7, 8], [9, 10]);
                                  [ 7  8  ]
      (%o2)                       [       ]
                                  [ 9  10 ]
      (%i3) matrix ([A, B]);

                           [ [ 1  2 ]  [ 7  8  ] ]
      (%o3)                [ [      ]  [       ] ]
                           [ [ 3  4 ]  [ 9  10 ] ]

      (%i4) mat_unblocker (%);
                               [ 1  2  7  8  ]
      (%o4)                    [             ]
                               [ 3  4  9  10 ]

Función: nullspace (M)

  Si M es una matriz, devuelve `span (v_1, ..., v_n)`, siendo `{v_1, ..., v_n}` la base del espacio nulo de M. Si el espacio nulo contiene un único elemento, devuelve `span ()`.

Función: nullity (M)

  Si M es una matriz, devuelve la dimensión del espacio nulo de M.

Función: orthogonal_complement (v_1, …, v_n)

  Devuelve `span (u_1, ..., u_m)`, siendo `{u_1, ..., u_m}` la base del complemento ortogonal del conjunto `(v_1, ..., v_n)`, cuyos elementos deben ser vectores columna.

Función: polynomialp (p, L, coeffp, exponp)
Función: polynomialp (p, L, coeffp)
Función: polynomialp (p, L)

  Devuelve `true` si p es un polinomio cuyas variables son las de la lista L, el predicado coeffp toma el valor `true` al aplicarlo a cada coeficiente y el predicado exponp también alcanza el valor `true` al ser aplicado a los exponentes de las variables listadas en L. En caso de necesitar que exponp no sea un predicado por defecto, se deberá especificar también el predicado coeffp, aunque aquí se desee su comportamiento por defecto.

  La instrucción `polynomialp (p, L, coeffp)` equivale a `polynomialp (p, L, coeffp, 'nonnegintegerp)`, al tiempo que `polynomialp (p, L)` equivale a `polynomialp (p, L, 'constantp, 'nonnegintegerp)`.

  No es necesario expandir el polinomio:

      (%i1) polynomialp ((x + 1)*(x + 2), [x]);
      (%o1)                         true
      (%i2) polynomialp ((x + 1)*(x + 2)^a, [x]);
      (%o2)                         false

  Un ejemplo utilizando valores distintos a los utilizados por defecto en coeffp y en exponp:

      (%i1) polynomialp ((x + 1)*(x + 2)^(3/2), [x],
                         numberp, numberp);
      (%o1)                         true
      (%i2) polynomialp ((x^(1/2) + 1)*(x + 2)^(3/2), [x],
                         numberp, numberp);
      (%o2)                         true

  Polinomios con dos variables:

      (%i1) polynomialp (x^2 + 5*x*y + y^2, [x]);
      (%o1)                         false
      (%i2) polynomialp (x^2 + 5*x*y + y^2, [x, y]);
      (%o2)                         true

Función: polytocompanion (p, x)

  Si p es un polinomio en x, devuelve la matriz compañera de p. Para un polinomio mónico p de grado n se tiene `p = (-1)^n charpoly (polytocompanion (p, x))`.

  Si p no es un polinomio en x, se devuelve un mensaje de error.

Función: ptriangularize (M, v)

  Si M es una matriz en la que sus elementos son polinomios en v, devuelve una matriz M2 tal que

  1. M2 es triangular superior,
  2. `M2 = E_n ... E_1 M`, donde E_1, ..., E_n son matrices elementales cuyos elementos son polinomios en v,
  3. `|det (M)| = |det (M2)|`,

  Nota: esta función no comprueba si los elementos de la matriz son polinomios en v.

Función: rowop (M, i, j, theta)

  Si M es una matriz, devuelve la matriz que resulta de relizar la transformación `R_i <- R_i - theta * R_j` con las filas `R_i` y `R_j`. Si M no tiene estas filas, devuelve un mensaje de error.

Función: rank (M)

  Calcula el rango de la matriz M. El rango es la dimensión del espacio columna. Ejemplo:

      (%i1) rank(matrix([1,2],[2,4]));
      (%o1)                                  1
      (%i2) rank(matrix([1,b],[c,d]));
      Proviso:  {d - b c # 0}
      (%o2)                                  2

Función: rowswap (M, i, j)

  Si M es una matriz, intercambia las filas i y j. Si M carece de estas filas, devuelve un mensaje de error.

Función: toeplitz (col)
Función: toeplitz (col, row)

  Devuelve una matriz de Toeplitz T. La primera columna de T es col, excepto su primer elemento. La primera fila de T es row. El valor por defecto para row es el complejo conjugado de col. Ejemplo:

      (%i1)  toeplitz([1,2,3],[x,y,z]);

                                        [ 1  y  z ]
                                        [         ]
      (%o1)                             [ 2  1  y ]
                                        [         ]
                                        [ 3  2  1 ]

      (%i2)  toeplitz([1,1+%i]);

                                    [   1     1 - %I ]
      (%o2)                         [                ]
                                    [ %I + 1    1    ]

Función: vandermonde_matrix ([x_1, ..., x_n])

  Devuelve una matriz n por n, cuya i-ésima fila es `[1, x_i, x_i^2, ... x_i^(n-1)]`.

Función: zerofor (M)
Función: zerofor (M, fld)

  Devuelve la matriz nula con la misma estructura que la matriz M. Cada elemento de la matriz nula es la identidad aditiva del campo fld; el valor por defecto de fld es generalring.

  El primer argumento de M debe ser una matriz cuadrada o no ser matriz en absoluto. Si M es una matriz, cada uno de sus elementos puede ser una matriz cuadrada, por lo que M puede ser una matriz de Maxima definida por bloques.

  Véase también `identfor`.

Función: zeromatrixp (M)

  Si M no es una matriz definida por bloques, devuelve `true` si `is (equal (e, 0))` es verdadero para todo elemento e de M. Si M es una matriz por bloques, devuelve `true` si `zeromatrixp` devuelve a su vez `true` para cada elemento de e.

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