Funciones de Bessel (Manual de Maxima 5.44.0)

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### 15.2 Funciones de Bessel

Función: bessel_j (v, z)

  Función de Bessel de primera especie de orden v y argumento z.

  La función `bessel_j` se define como

                      inf
                      ====       k  - v - 2 k  v + 2 k
                      \     (- 1)  2          z
                       >    --------------------------
                      /        k! gamma(v + k + 1)
                      ====
                      k = 0

  aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.

Función: bessel_y (v, z)

  Función de Bessel de segunda especie de orden v y argumento z.

  La función `bessel_y` se define como

                    cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)
                    -------------------------------------------
                                   sin(%pi v)

  si v no es un entero. En caso de que v sea un entero n, se calcula el límite cuando v se aproxima a n.

Función: bessel_i (v, z)

  Función modificada de Bessel de primera especie de orden v y argumento z.

  La función `bessel_i` se define como

                          inf
                          ====   - v - 2 k  v + 2 k
                          \     2          z
                           >    -------------------
                          /     k! gamma(v + k + 1)
                          ====
                          k = 0

  aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.

Función: bessel_k (v, z)

  Función modificada de Bessel de segunda especie de orden v y argumento z.

  La función `bessel_k` se define como

                 %pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z))
                 -------------------------------------------------
                                        2

  si v no es un entero. Si v es igual al entero n, entonces se calcula el límite cuando v tiende a n.

Función: hankel_1 (v, z)

  Función de Hankel de primera especie de orden v y argumento z (A&S 9.1.3). La función `hankel_1` se define como

         bessel_j(v,z) + %i * bessel_y(v,z)

  Maxima evalúa `hankel_1` numéricamente para el orden real v y el argumento complejo z en doble precisión (float). La evaluación numérica en gran precisión (bigfloat) y para órdenes complejos no está implementada.

  Si `besselexpand` vale `true`, `hankel_1` se expande en términos de funciones elementales cuando el orden v es la mitad de un entero impar. Véase al respecto `besselexpand`.

  Maxima reconoce la derivada de `hankel_1` con respecto del argumento z.

  Ejemplos:

  Evaluación numérica:

      (%i1) hankel_1(1,0.5);
      (%o1)              .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i
      (%i2) hankel_1(1,0.5+%i);
      (%o2)             - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016

  No se soportan órdenes complejos. Maxima devuelve una forma nominal:

      (%i3) hankel_1(%i,0.5+%i);
      (%o3)                       hankel_1(%i, %i + 0.5)

  Expansión de `hankel_1` cuando `besselexpand` vale `true`:

      (%i4) hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
                            sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z)
      (%o4)                 ----------------------------------
                                    sqrt(%pi) sqrt(z)

  Derivada de `hankel_1` respecto del argumento z. No está soportada la derivada respecto del orden v. Maxima devuelve una forma nominal:

      (%i5) diff(hankel_1(v,z),z);
                          hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z)
      (%o5)               ---------------------------------------
                                             2
      (%i6) diff(hankel_1(v,z),v);
                                   d
      (%o6)                        -- (hankel_1(v, z))
                                   dv

Función: hankel_2 (v, z)

  Función de Hankel de segunda especie de orden v y argumento z (A&S 9.1.4). La función `hankel_2` se define como

         bessel_j(v,z) - %i * bessel_y(v,z)

  Maxima evalúa `hankel_2` numéricamente para el orden real v y el argumento complejo z en doble precisión (float). La evaluación numérica en gran precisión (bigfloat) y para órdenes complejos no está implementada.

  Si `besselexpand` vale `true`, `hankel_2` se expande en términos de funciones elementales cuando el orden v es la mitad de un entero impar. Véase al respecto `besselexpand`.

  Maxima reconoce la derivada de `hankel_2` con respecto del argumento z.

  Véanse ejemplos en `hankel_1`.

Variable optativa: besselexpand

  Valor por defecto: `false`

  Controla la expansión de las funciones de Bessel cuando el orden es la mitad de un entero impar. En tal caso, las funciones de Bessel se pueden expandir en términos de otras funciones elementales. Si `besselexpand` vale `true`, se expande la función de Bessel.

      (%i1) besselexpand: false$
      (%i2) bessel_j (3/2, z);
                                          3
      (%o2)                      bessel_j(-, z)
                                          2
      (%i3) besselexpand: true$
      (%i4) bessel_j (3/2, z);
                                              sin(z)   cos(z)
                             sqrt(2) sqrt(z) (------ - ------)
                                                 2       z
                                                z
      (%o4)                  ---------------------------------
                                         sqrt(%pi)

Función: scaled_bessel_i (v, z)

  Es la función de Bessel modificada de primera especie de orden v y argumento z, es decir scaled_bessel_i(v,z) = exp(-abs(z))*bessel_i(v, z). Esta función es especialmente útil para calcular bessel_i cuando z es grande. Sin embargo, Maxima no sabe mucho más sobre esta función. En cálculos simbólicos, quizás sea preferible trabajar directamente con la expresión `exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)`.

Función: scaled_bessel_i0 (z)

  Idéntica a `scaled_bessel_i(0,z)`.

Función: scaled_bessel_i1 (z)

  Idéntica a `scaled_bessel_i(1,z)`.

Función: %s [u,v] (z)

  Función s[u,v](z) de Lommel. Gradshteyn & Ryzhik 8.570.1.

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